Rezolvați inecuația:

[Dacu Iulian Toma Radu]

[Ioan Muntean]

Inecuția nu are soluții în mulțimea numerelor reale (\(\mathbb{R}\)), dar are soluții în mulțimea numerelor complexe (\(\mathbb{C}\)), fiind îndeplinită pentru \(x = bi\), unde \(b \in (-\infty, -3) \cup (1, \infty)\).

Pentru ca o inegalitate să aibă sens în contextul numerelor complexe, expresia trebuie să rezulte într-un număr real. Putem rezolva elegant această inecuție prin restrângerea pătratului:

Pasul 1: Formarea unui pătrat perfect

Observăm că primii doi termeni seamănă cu dezvoltarea pătratului \((x+i)^2 = x^2 + 2ix + i^2 = x^2 + 2ix - 1\). Adunăm și scădem \(1\) (sau scriem \(3\) ca \(4 - 1\)):

\(x^{2}+2ix-1+4<0\) \((x+i)^{2}+4<0\) \((x+i)^{2}<-4\)

Pasul 2: Condiția pentru ca membrul stâng să fie real

Pentru ca numărul \((x + i)^2\) să fie mai mic decât \(-4\), el trebuie în primul rând să fie un număr real negativ. Pătratul unui număr complex este real și negativ dacă și numai dacă numărul respectiv este pur imaginar.

Prin urmare, termenul \((x + i)\) trebuie să fie de forma \(ki\), unde \(k \in \mathbb{R}\): \(x+i=ki\implies x=(k-1)i\)

Pasul 3: Rezolvarea inegalității pentru \(k\)

Înlocuim \((x + i) = ki\) în inecuție: \((ki)^{2}<-4\) \(-k^{2}<-4\)

Înmulțim cu \(-1\) și schimbăm semnul inegalității: \(k^{2}>4\implies |{}k|{}>2\)

Aceasta înseamnă că:

• \(k < -2\)
• \(k > 2\)

Pasul 4: Determinarea formei lui \(x\)

Deoarece am stabilit că \(x = (k - 1)i\), notăm coeficientul lui \(i\) cu \(b = k - 1\) (deci \(x = bi\)):

• Dacă \(k < -2 \implies b < -3\)
• Dacă \(k > 2 \implies b > 1\)

[Dacu Iulian Toma Radu]

Mai simplu! Inecuația propusă spre rezolvare este de fapt echivalentă cu ecuația:

[Ioan Muntean]

👍

[Pop Dorina]

Oare am postat-o unde trebuie?

 

[Ioan Muntean]

Mutaţi-o sub postarea cu regulamentul!

[Pop Dorina]

Vă mulțumesc.

[Nitu Constantin]

Sănătate!

[Ioan Muntean]